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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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2. Calcular aplicando el método de sustitución.
h) ∫4x3+6x23x4+6x3−9dx\int \frac{4 x^{3}+6 x^{2}}{3 x^{4}+6 x^{3}-9} dx

Respuesta

Usamos la sustitución u=3x4+6x3−9u = 3x^4 + 6x^3 - 9. Entonces, du=(12x3+18x2) dxdu = (12x^3 + 18x^2) \, dx, y dx=du12x3+18x2dx = \frac{du}{12x^3 + 18x^2}.


∫4x3+6x23x4+6x3−9 dx=∫4x3+6x2u du12x3+18x2   \int \frac{4x^3 + 6x^2}{3x^4 + 6x^3 - 9} \, dx = \int \frac{4x^3 + 6x^2}{u} \, \frac{du}{12x^3 + 18x^2}  


Ahora bien, fijate que puedo sacar factor común 3 en el denominador y me quedaría la misma expresión en numerador y denominador. Sí, cuando todo se parece demasiado intentá sacar factor común ¡Esa es la clave! Y generalmente te lo toman así, con casos donde tenés polinominios en el numerador y denominador. 

¡Sigamos!


∫4x3+6x2u du3(4x3+6x2)= 13∫duu\int \frac{4x^3 + 6x^2}{u} \, \frac{du}{3(4x^3 + 6x^2)} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u}

13∫duu=13ln⁡∣u∣+C \frac{1}{3} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{3} \ln|u| + C
Sustituimos uu por 3x4+6x3−93x^4 + 6x^3 - 9:
13ln⁡∣3x4+6x3−9∣+C \frac{1}{3} \ln|3x^4 + 6x^3 - 9| + C
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